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  ————以下是正文————
  zermelo-fraenkel集理论公理
  （从过渡性zfc模型重定向）
  zermelo-frankel集理论与选择公理（zfc）是集合理论家使用公理的标准集合。用于表达每个公理的正式语言是一阶的，具有平等性（==）和一个二进制关系符号，∈∈，意在表示集合成员资格。零集公理和分离模式被后来更具包容性的公理所取代。
  公理
  扩展性
  集合由其元素唯一确定。这正式表示为
  ∀x∀y(∀z(z∈xz∈y)→x=y).∀x∀y(∀z(z∈xz∈y)→x=y).
  “→→”可以替换为“”，但是←←方向是一个逻辑定理。或者，可延伸性公理可以作为平等的定义，也可以用它来代替它：
  ∀x∀y(∀a(a∈xa∈y)→∀b(x∈by∈b))∀x∀y(∀a(a∈xa∈y)→∀b(x∈by∈b))
  意味着具有相同元素的集合属于相同的集合。
  空集
  有一些集合。事实上，有一套没有成员。这是正式表达的
  ∃x∀y(y∉x).∃x∀y(y∉x).
  这样一个x按扩展性是唯一的，此集合表示为∅∅。
  配对
  对于任何两套xx和yy（不一定不同）还有一套zz谁的成员正是布景？xx和yy。
  ∀x∀y∃z∀w(w∈z(w=xvw=y)).∀x∀y∃z∀w(w∈z(w=xvw=y)).
  这样一个z因扩展性而独一无二，并表示为{x，y}{x，y}。
  工会
  对于任何一套xx还有一套yy其成员正是所有成员xx。也就是说，集合的所有成员的联盟都存在。这正式表示为
  ∀x∃y∀z(z∈y∃w(w∈x∧z∈w)).∀x∃y∀z(z∈y∃w(w∈x∧z∈w)).
  这样一个y因扩展性而独一无二，并被写成y=⋃xy=⋃x。
  基础（或规律性）
  每套非空集x成员与x，确保任何集合都不能直接或间接包含自己。这正式表示为
  ∀x≠∅∃y∈x¬∃z(z∈x∧z∈y).∀x≠∅∃y∈x¬∃z(z∈x∧z∈y).
  同样，根据选择公理，没有无限的降序⋯∈x2∈x1∈x0⋯∈x2∈x1∈x0。
  分离模式
  对于任何一套aa和任何谓词p(x)p(x)用zfc的语言写，集合{x∈a:p(x)}{x∈a:p(x)}存在。更详细地说，给定任何公式φ有自由变量x1，x2，…，xnx1，x2，…，xn以下是一个公理：
  ∀a∀x1∀x2…∀xn∃y∀z(z∈y(z∈a∧φ(x1，x2，…，xn，z))∀a∀x1∀x2…∀xn∃y∀z(z∈y(z∈a∧φ(x1，x2，…，xn，z))
  这样一个y，以扩展性独一无二，并被写入（适用于固定集）a，x1…，xna，x1…，xn）y={z∈a:φ(x1，x2，…，xn，z)}y={z∈a:φ(x1，x2，…，xn，z)}。
  到目前为止，我们无法证明无限集的存在。即⟨vw，∈⟩是前五个公理和无限多分离实例的模型。每个成员vw事实上是有限的vw是世袭有限集的集合。这基本上是标准模型ℕ。
  无限
  有无限的集合。这正式表示为
  ∃x(∅∈x∧∀z(z∈x→zu{z}∈x).∃x(∅∈x∧∀z(z∈x→zu{z}∈x).
  此时我们可以定义w，+，w，+，和⋅⋅在ww，得出基本事实w以及数学归纳原理w（即，我们可以证明皮亚诺公理在⟨w，+，⋅⟩⟨w，+，⋅⟩）。但我们还不能证明一个数不清的集合的存在。
  电源设置
  对于任何一套x还有一套y作为成员，所有子集x没有其他元素。y是电源集x。这正式表示为
  ∀x∃y∀z(z∈y∀w(w∈z→w∈x))∀x∃y∀z(z∈y∀w(w∈z→w∈x))
  [独特的yy写成y=(x)y=p(x).]
  定义有序对(a，b)(a，b)是{{a}，{a，b}}{{a}，{a，b}}。关系作为有序对的集合，函数作为关系ff以至于(a，b)∈f(a，b)∈f和(a，c)∈f(a，c)∈f暗示b=cb=c。
  选择
  这个公理有很多公式。这是历史上最具争议的公理zfczfc。
  ∀x[∀y(y∈x→y≠∅)→∃f(domf=x∧∀a∈x(f(a)∈a))]∀x[∀y(y∈x→y≠∅)→∃f(dom⁡f=x∧∀a∈x(f(a)∈a))]
  zermelo（1908年）明确阐述了上述公理产生的理论。大多数经典数学都可以在这个理论中进行，但令人惊讶的是，没有比(w⋅2)(w⋅2)可以证明存在于这一理论中（至少对zermelo来说是这样，他只是忽视了frankel和其他人发现的下一个公理）。
  替换模式
  如果aa是一套，对所有人来说x∈ax∈a有一个独特的y以至于(x，y)(x，y)满足给定的财产，然后收集此类财产y这是一套。更详细地说，给定一个公式φ(x1，…，xn，x，y)φ(x1，…，xn，x，y)以下是替换模式的实例：
  ∀a∀x1…∀xn[(∀x∈a∃!yφ(x1，…，xn，x，y))→∃z∀w(w∈z∃u∈aφ(x1，…，xn，u，w))].∀a∀x1…∀xn[(∀x∈a∃!yφ(x1，…，xn，x，y))→∃z∀w(w∈z∃u∈aφ(x1，…，xn，u，w))].
  更换申请
  替换公理证明，每个有序集都与（唯一）序数同构。
  证明。只需为每个世界展示这一点。⟨l，<l⟩⟨l，<l⟩和每个l∈ll∈l，l<l={m∈l:m<ll}≅l<l={m∈l:m<ll}≅到（独特的）序号f(l)f(l)。修复l∈ll∈l，ll最不反例。然后ff定义在l<ll<l通过替换，ran(f↾l<l)ran(f↾l<l)是一套序数aa。从关于序数和顺序的基本事实来看，很容易看出aa是序号αα。如果ll是ll然后l<l≅α+1l<l≅α+1。如果ll是限制ll，那么l<l≅αl<l≅α。
  ∀x∃α(x∈vα)∀x∃α(x∈vα)。
  对于所有序数α，ℵα存在（即为每个α至少有α+1α+1-许多无限红衣主教）。
  此外，置换公理也证明了分离公理，反过来又证明了空集公理。此外，与功率集公理一起证明了配对公理。
  zfc的一致性
  断言con(zfc)con(zfc)是理论的断言zfc是一致的。这是一个复杂的断言Π01Π10在算术中，因为它断言每个自然数都不是哥德尔代码，证明来自zfc。由于gödel完整性定理，该断言等同于该理论zfc有模型⟨m，∈̂⟩⟨m，∈^⟩。其中一种模型是henkin模型，该模型基于任何完全一致的henkin理论扩展的句法程序zfc。一般来说，人们可能不会认为∈̂∈^是实际集成员关系，因为这将使模型成为zfc，其存在比con(zfc)con(zfc)。
  哥德尔不完全性定理意味着如果zfczfc是一致的，那么它就不能证明con(zfc)con(zfc)，因此这个公理的添加严格来说比zfc独自一人。
  表达方式con2(zfc)con2(zfc)表示断言con(zfc+con(zfc))con(zfc+con(zfc))，更笼统地迭代这一点，人们可能会考虑这种说法conα(zfc)conα(zfc)每当α本身是可以表达的。
  及过渡模型
  一种传递模型zfczfc是一套及物mm以至于结构⟨m，∈⟩⟨m，∈⟩满足所有zfc集合理论公理。这种模式的存在严格来说比con(zfc)con(zfc)比迭代一致性层次结构更强大，但比世俗红衣主教、红衣主教的存在更弱kk为了哪个vkvk是zfc，因此也比无法接近的红衣主教的存在更弱。并非所有及物动词模型zfczfc有vk形式，因为如果有任何及物模型zfc，然后通过löwenheim-skolem定理和mostowski崩溃引理，有一个可数的这种模型，这些模型从来没有形式vk。
  尽管如此，每个及物动词模型m的zfc提供了一个集合理论论坛，在这个论坛中，人们可以看到几乎所有正在进行的经典数学。在这个意义上，普通集理论结构无法访问或无法访问此类模型。因此，存在一个zfc可以被视为一个大的基数公理：它表达了一个大的概念，这种模型的存在在zfc并具有严格超越的一致性强度zfczfc。
  最小及物模型zfc
  如果有任何及物模型m的zfc，那么lm，计算在m，也是zfc事实上，有表格lη，哪里η=ht(m)η=ht(m)是高度m。最小及物模型zfc是模型lη，哪里η最小，以至于这是一个模型zfc。刚才给出的论点表明，最小及物模型是所有其他及物模型的子集zfc。
  它的高度比最不稳定的序数要小，尽管zfc中可以证明存在稳定序数，而传递模型的存在则不然。
  w-模型zfc
  安w-模型zfc是zfc其自然数的集合与实际自然数同构。换句话说，一个w-模型是一个没有非标准自然数的模型，尽管它可能有非标准序数。（更一般地说，对于任何序号α，一个α-模型至少有基础良好的部件α。）每个及物模型zfc是一个w-模型，但后一个概念严格来说更弱。
  一致性层次结构
  存在一个ww-模型zfczfc并暗示con(zfc)con(zfc)当然，还有con(zfc+con(zfc))con(zfc+con(zfc))以及大部分迭代一致性层次结构。这只是因为如果m⊨zfcm⊨zfc并有标准的自然数，然后m同意con(zfc)con(zfc)坚持，因为它的证据与我们在环境背景下的证据相同。因此，我们认为m满足zfc+con(zfc)zfc+con(zfc)因此，我们相信con(zfc+con(zfc))con(zfc+con(zfc))。接下来m同意这种一致性主张，所以我们现在相信con3(zfc)con3(zfc)。模型m因此同意，所以我们相信con4(zfc)con4(zfc)等等，只要我们能够以一种m正确解释它们。
  每个有限的碎片zfc由于反射定理，允许许多传递模型。
  及过渡模型和强迫
  历史上，集合理论的可数传递模型被用作将强迫形式化的便捷方式。这种模型m使强迫理论变得方便，因为人们可以很容易地证明，对于每个部分订单ℙ英寸m，有一个m-通用过滤器 g⊂ℙg⊂p，只需列举ℙ英寸m按可数顺序⟨dnin<w⟩⟨dnin<w⟩，并构建降序p0≥p1≥p2≥⋯p0≥p1≥p2≥⋯，与pn∈dnpn∈dn。过滤器gg序列生成的是m通用。
  为了证明一致性，这种形式化效果很好。显示con(zfc)→con(zfc+φ)con(zfc)→con(zfc+φ)，修复了一个有限的片段zfc并使用合适的大碎片的可数传递模型，产生φ在强制扩展中包含所需的碎片。
  及物模型宇宙公理
  及物模型宇宙公理是断言每组都是zfc。这个公理比费弗曼理论提出了更强有力的主张，因为它被断言为单一的一阶主张，但比宇宙公理更弱，宇宙公理断言宇宙有形式vk对于无法接触到的cardinalkk。
  传递模型宇宙公理有时在背景理论中研究，而不是zfc，但对于zfc-p，省略了幂集公理，以及断言每个集都是可数的公理。这种事业相当于采用后一种理论，不是作为数学的基本公理，而是作为研究多元宇宙视角的背景元理论，调查各种实际集理论宇宙、完整的及物模型zfc，彼此相关。
  每个型号zfc包含一个模型zfc作为一个元素
  每个模型m的zfc有一个元素n，它认为这是集合理论语言中的一阶结构，是集合理论的模型zfc，从外部看m。这在以下情况下是显而易见的m是一个w-模型zfc，因为在这种情况下m同意zfczfc是一致的，因此可以构建一个亨金模型zfc。在其余情况下，m有非标准自然数。通过反射定理应用于m，我们知道Σn碎片zfc在表单模型中是正确的vmβvβm，对于每个标准自然数n。自从m无法确定其标准切割，因此必须有一些非标准切割nn为了哪个m认为一些vmβvβm满足（非标准）Σn碎片zfc。自从n是非标准，这包括完整的标准理论zfc，根据需要。
  前一段中提到的事实偶尔会被一些初创理论家发现令人惊讶，也许是因为这个结论天真地似乎与这样一个事实相矛盾，即可能存在模型zfc+¬con(zfc)zfc+¬con(zfc)。然而，通过意识到尽管模型n里面m实际上是一个完整的模型zfc，模型m无需同意这是zfc，如果m具有非标准自然数，因此非标准长度公理zfc。
  数不清的及物模型
  回想一下，löwenheim-skolem定理和mostowski崩溃引理表明，如果zfc有一个传递模型（或其他集合理论），那么就有一个可数的此类模型。这意味着ll每个不可数的传递模型都是zfc+的模型v=lv=l+“zfc+有一个可数的传递模型v=lv=l?这个理论中有一些可数的传递模型，它们必须比最小模型具有更高的高度。同样，也有理论的传递模型，断言不同高度的可数可数传递模型，直到w1w1（其意义取决于模型：一般来说wm11≠wm21w1m1≠w1m2）。此外，还有及物理论模型断言“有ααzfc+的可数传递模型“有w1不同高度的zfc可数传递模型?不同高度?等。因此，如果有一个不可数的传递模型，那么“真的很多”（在“等”建议的非正式含义中）可数传递模型，它们在w1w1（否则他们不可能有w1w1不同的高度）。
  假设在vv我们有一个基数高度的及物模型kk。我们可以把每个数不清的继任者变成红衣主教λ+≤kλ+≤k进入w1w1通过强迫（在v[g]v[g]）。在v[g]v[g]，及物模型不受限制wv[g]1w1v[g]（=(λ+)v≤k=(λ+)v≤k）。传递模型的可构造宇宙（lht(m)lht(m)）是zfc+的型号v=lv=l它是l哪个很常见v和v[g]v[g]。所以zfc+的型号v=lv=l无限(λ+)v(λ+)v英寸v。他们中的一些人具有高度的基数λλ他们“很多”。因此，如果有基数高度的传递模型kk，然后有“非常多”所有基数高度的及物模型λ<kλ<k。
  特别是，zfc模型（和zfc+“zfc模型是无界的”等）在vk为了世俗k，就像在vk无法访问k有世俗、世俗、超世俗等cardinal。