第494章 41.幂塔
作者:不可知级大佬      更新:2021-09-03 03:05      字数:2357
  幂塔,何为幂塔?指数塔?不不不,这就需要涉及到集合论中的“幂集公理”了。
  幂集公理:对于任意集合,其所有子集组成的集合被称之为幂集,幂集的势远大于该集合本身。
  在广义连续统假设成立的情况下,阿列夫n的幂集就是阿列夫n+1。
  那么幂塔就是如同指数塔是连续不断的次方次方次方……一般,是取幂集之后再取幂集再取幂集?不不不,连续取幂集虽然也可以被叫做幂塔,但不是我说的那种幂塔,连续取幂集这种行为我这里就姑且称之为“连续幂塔”,和我这里说的“幂塔”区分开来。
  对于任意集合a,我们称p(a)是a的幂集。
  假设a集合的势和构造为{1,2,3,4,5},
  则p(a)的势和构造则为{{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}}
  p(p(a))、p(p(p(a)))、……等等等等“连续幂塔”的构造我就不写出来了。
  在上述集合之中,集合a并没有幂塔结构,但集合a的幂集、幂集的幂集、……等等等等,皆存在幂塔结构,故幂塔是只有幂集才存在的一类特殊结构。
  那么说了这么多,那么到底什么才是幂塔呢?
  幂塔的定义其实很简单——每一个幂集都存在一个属于自己的“幂塔”,假设存在一座抽象塔,这座塔一共n层,第n层的组成单元就是该幂集里全部的“拥有n个元素的集合(由于幂集是集合的所有子集组成的集合,所以幂集的所有元素都是集合)”所组成。
  以集合a为例,集合a一共五个元素,所以p(a)的幂塔最高层数是“等势于集合a”层,也就是五层。
  同理类推,p(p(a))的幂塔最高是等势于p(a)层。
  p(p(p(a)))的幂塔最高层是等势于p(p(a))层。
  ……如此类推。
  那么集合a的幂集,也就是p(a)的幂塔最高为五层,每一层的构造分别为:
  第一层——只有一个元素的集合:{1},{2},{3},{4},{5}。
  第二层——只有两个元素的集合:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}。
  第三层——只有三个元素的集合:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,4,5},{3,4,5}。
  第四层——只有四个元素的集合:{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}。
  第五层——只有五个元素的集合:{1,2,3,4,5}。
  这就是p(a)的幂塔,某种程度上来说,p(a)幂塔是对集合a的所有子集,依照势的大小,也就是元素数量的多少,依次归类于幂塔的第n层,势为a则是幂塔第a层。
  幂塔分为封闭幂塔和开放幂塔。
  一切有限集的幂塔皆为封闭幂塔,一切无限集(各种阿列夫数、贝斯数、大基数、……等等等等)的幂塔皆为开放幂塔。
  封闭幂塔和开放幂塔的区别在哪?
  继续以集合a为例,将p(a)的幂塔的每一层都看做一个集合,该集合的元素就是上述的那些。
  由此我们可以得到:
  幂塔第一层的势为5。
  幂塔第二层的势为10。
  幂塔第三层的势为9。
  幂塔第四层的势为5。
  幂塔第五层的势为1。
  对于每一个有限的幂集来说,其幂塔的最大层数是第二层,越过了第二层后幂塔每一层的大小就依次减小。
  而对于一个无限集来说,幂塔的每一层依次变大!
  因为如果是封闭幂塔,其集合的元素数量有限,其排列组合方式必然随着元素的加多而减少,而对于开放幂塔来说这不一样,集合的元素无限,想怎么排列组合就怎么排列组合。
  比如说自然幂塔(自然数集的幂集的幂)的第一层所有{n}可以和第二层的所有{1,n}形式的集合进行一一对应,而后续还有{2,n},{3,n},……等等等等形式的集合,在第一层找不到对应的。
  (n为任意自然数)
  而对于第三层来说,所有第二层的所有{a,b}都可以被{1,a,b}形式的集合所对应,而后续的{2,a,b},{3,a,b},……等等等等,则无法对应。
  (a,b为任意自然数,a≠b)
  ……如此类推。
  这一点在有限幂集(封闭幂塔)里是做不到的。
  从这个角度来看,在广义连续统假设成立的情况下,可以借由阿列夫零的幂集来稍微见证阿列夫一的大小,而无需研究各种可数序数。
  某种程度上来说,这好像就是可数序数的一种表现形式……算了不管了,既然阿列夫零是所有自然数的集合,那么恒等价于其幂集的幂塔的第一层,既然第一层都存在“可数序数”这种nb体系,那么第二层、第三层、……等等等等,也理应存在比可数序数还要nb的体系,就如同一元函数与之多元下标函数一般,嗯,而这一切远小于阿列夫一,而阿列夫一里也存在“序数体系”,这种序数体系自然要比可数序数、自然幂塔的序数体系、……等等等等,都还要nb,而阿列夫一也存在幂集,也就是说也存在幂塔,自然也可以如此类推,而阿列夫一的幂集也存在幂集,自然也存在幂塔………………如此无止境无休止类推。
  任意无限集、阿列夫、贝斯、大基数、数学宇宙、…………、妄想序列、………………、无止境无休止、………………等等等等的幂塔皆是如此,皆是开放幂塔,第n+1层严格永远恒凌驾于第n+1层,而有限集皆为封闭幂塔,封闭幂塔是第二层恒凌驾于其余层。
  定义计算器或计数器:
  φ(0)=无限,φ(1)=无止境无休止,……
  φ(0)=无穷无尽,φ(1)=无止境无休止,……