【例5】设f（x）为连续函数，且lim f（x）/x=1（x→0），求lim 【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）。
  思路分析：这是一道积分上限函数求极限的问题，因为分子分母都有积分上限函数，所以需要分开化简，最后合并，再利用洛必达法则求解。
  ∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫f（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=-∫f（u）du（sx=0，xx=x）=∫f（u）du（sx=x，xx=0）.
  ∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫tf（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=-∫（x-u）f（u）du（sx=0，xx=x）=∫（x-u）f（u）du（sx=x，xx=0）=x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）.
  ∴原式=lim 【f（x）∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
  =lim 【f（x）/x】·【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
  =lim【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）-xf（x）】（x→0）
  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
  =lim【1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）+f（x）/x】/1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
  lim1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
  =1/2 lim f（x）/x（x→0）
  =1/2
  ∴lim 【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）=【1/2+1】/ 1/2=3
  解：∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫f（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=∫f（u）du（sx=x，xx=0）.
  ∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫tf（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=∫（x-u）f（u）du（sx=x，xx=0）=x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）.
  ∴原式=lim 【f（x）∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
  =lim 【f（x）/x】·【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
  =lim【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）-xf（x）】（x→0）
  =lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
  =lim【1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）+f（x）/x】/1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
  lim1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
  =1/2 lim f（x）/x（x→0）
  =1/2
  ∴lim 【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）=【1/2+1】/ 1/2=3
  题型五：左右极限的问题
  【例1】f（x）={1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}，讨论lim f（x）（x→1）。
  思路分析：由2的【1/（x-1）】次方和2的【2/（x-1）】次方，这道题得在x→1-和x→1+两个方向讨论极限。
  f（1-0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1-）
  当x→1-时，x-1→0-，1/（x-1）→-∞，2的【1/（x-1）】次方→0，所以上式=1/2
  f（1+0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1+）
  当x→1+时，x-1→0+，1/（x-1）→+∞，2的【1/（x-1）】次方→+∞，所以上式=0
  因为f（1-0）≠f（1+0），所以lim f（x）（x→1）不存在。
  解：f（1-0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1-）=1/2
  f（1+0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1+）=0
  ∵f（1-0）≠f（1+0），∴lim f（x）（x→1）不存在。
  注意：当x→1+时，2的【1/（x-1）】次方→+∞，2的【2/（x-1）】次方→+∞，但后者相当于2的【1/（x-1）】次方·2的【1/（x-1）】次方。
  【例2】求lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0）
  思路分析：这道题同上例1，题目中都出现了e的1/x次方的指数形式。
  f（0-0）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0-）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的1/x次方）】-sinx/x}（x→0-）
  当x→0-时，1/x→-∞，e的1/x次方→0，e的4/x次方→0，且lim sinx/x（x→0-）=1，所以上式=2/1-1=1。
  又f（0+0）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0+）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/x}（x→0+）
  当x→0+时，1/x→+∞，e的1/x次方→+∞，e的4/x次方=e的1/x次方·e的1/x次方·e的1/x次方·e的1/x次方→+∞＞＞e的1/x次方，且lim sinx/x（x→0+）=1，所以上式=0+1=1。
  ∵f（0-0）=f（0+0）=1，∴lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0）=1
  解题步骤同上。
  题型六：极限的存在问题。
  解题工具：夹逼定理和单调有界必有极限。
  常见题型：数列极限的存在性问题。
  解题工具：1数学归纳法2判断an+1-an的符号得单调性3导数法，由递推关系式an+1=f（an）来确定，令an+1=y，an=x，转化为y=f（x）的函数形式。如果导数大于零，则数列单调，再由a1和a2的大小关系确定单调递增还是递减。4先求极限，再证明极限存在。5用递推关系式求出数列表达式，再求极限。
  【例1】设0＜a1＜π，an+1=sin an，1证明：lim an（n→∞）存在，并求极限。2求lim（an+1/an）的1/an2次方（n→∞）。
  思路分析：题目中已经给出了递推关系式，所以优先考虑用导数法求解。
  显然，an＞0，令y=sinx，y’=cosx，仅凭an≥0中不能判断y’的正负，所以导数法失效。
  当x＞0时，sinx＜x，所以an+1=sin an＜an，所以数列{an}单调递减，又因为an＞0有下界，所以数列{an}极限存在。
  令lim an（n→∞）=a，则由an+1=sin an得，a=sina，解得a=0，所以lim an（n→∞）=0
  lim（an+1/an）的1/an2次方（n→∞）=lim（sin an/ an）的1/an2次方（n→∞）
  令x=an，则当n→∞时，an→0，x→0，所以原式化为：lim（sinx /x）的1/x2次方（x→0）=lim{【1+（sinx-x）/x】的【x/（sinx-x）】次方}的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
  =lim e的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
  =e的lim（sinx-x）/x3次方（x→0）
  =e的lim（cos-1）/3x2次方（x→0）
  =e的lim（-1/2·x2）/3x2次方（x→0）
  =e的-1/6次方。
  解：（1）显然，an＞0，当x＞0时，sinx＜x，所以an+1=sin an＜an，所以数列{an}单调递减，又因为an＞0有下界，所以数列{an}极限存在。
  令lim an（n→∞）=a，则由an+1=sin an得，a=sina，解得a=0，所以lim an（n→∞）=0
  二lim（an+1/an）的1/an2次方（n→∞）=lim（sin an/ an）的1/an2次方（n→∞）
  令x=an，则当n→∞时，an→0，x→0，
  所以lim（sinx /x）的1/x2次方（x→0）=lim{【1+（sinx-x）/x】的【x/（sinx-x）】次方}的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
  =lim e的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
  =e的lim（sinx-x）/x3次方（x→0）
  =e的lim（cos-1）/3x2次方（x→0）
  =e的lim（-1/2·x2）/3x2次方（x→0）
  =e的-1/6次方。